Tener a una persona haciendo gestiones de un lado para otro.
Zaranda es un recipiente para cribar y se mueve de un lado para otro, para dejar lo más grueso arriba y así limpiar.
De ahí tener a alguien como un zarandillo, la persona que lo mueve de un lado a otro.
" Traer como un zarandillo" es lo correcto.
Sinónimos de traer como un zaeandillo son cadete ayudante volver loco
"El le trae como un zarandillo, siempre llevando papeles."